NUMEROS REALES Y POLIGOMIOS

Potenciación

La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada).

En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma.

Por ejemplo:

 

En General:

 

Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente, esa será la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la bases, para sacar el resultado el número se multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente.

 

Propiedades de La Potenciación:

Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son:

 

 

Ø Potencia Exponente 0 :  

Toda Potencia de Exponente 0 y base Distinta a 0 es igual a 1

 

Ø Potencia de Exponente 1:

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base

 

Ø Producto de Potencias de Igual base:

Para el producto de dos o más potencias de igual base se colocan la misma base y se suman los exponentes.

 

 

Ø División de Potencias de Igual Base:

En la división de dos potencias de igual base se coloca la misma base y se restan los exponentes.

 

Ø Potencia de un Producto:

La potencia de un producto de base (a•b) y de exponente "n" es igual a la potencia "a" a la "n" por "b" a la "n". Cada base se multiplica por el exponente.

 

 

 

 

 

Ø Potencia de una División:

En la potencia de una división de base "a/b" y exponente "n" se procede a elevar cada uno de los componentes de la base a "n".

 

 

Ø Potencia de la Potencia:

Para resolver la potencia de una potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes.

 

 

Ø Propiedad Distributiva:

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

Distributiva con respecto a la multiplicación y división:

 

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

Adición:

 

Sustracción:

 

 

Ø Propiedad Conmutativa:

La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.

En general:

 

Ø Propiedad Asociativa:

La propiedad asociativa no se cumple para la potenciación.

 

Ø Potencia de base 10:

Toda potencia de base 10 y que tiene como exponente un número natural es igual a la unidad seguida de la cantidad de ceros que indica el exponente.

 

 

 

Ø Potencia de Exponente Fraccionario:

Es una potencia que tiene su exponente en forma de fracción, y en la que se cumple que:

 

Ø Potencia de Exponente Negativo:

Una potencia que tenga exponente negativo se cambia de lugar y de este modo su exponente automáticamente cambiara a ser positivo

 

Radicación:

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

 

En la raíz cuadrada el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consistiría en hallar un número conocido su cuadrado.

 

La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b2 = a.

 

ü Raíz Cuadrada Exacta:

La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.

 

 

 

ü Cuadrados Perfectos:

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...

 

ü Raíz cuadrada entera:

Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera.

 

 

ECUACIONES ALGEBRAICAS:

Se llama ecuación algebraica con una incógnita la ecuación que se reduce donde n es un número entero positivo; α0, α1, α2,..., αn-1, αn se denominan coeficientes o parámetros de la ecuación y se toman dados; x se nombra incógnita y es buscada. El número n positivo se llama grado de la ecuación. Para definir un número algebraico se consideran como coeficientes, números racionales.

v Ecuaciones de Primer Grado:

Se dice que una ecuación algebraica es de primer grado cuando la incógnita (aquí representada por la letra x) está elevada a la potencia 1 (grado = 1), es decir que su exponente es 1.

Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

 

Donde a y b están en un conjunto numérico (ℚ, ℝ) con a diferente de cero.

Su solución es sencilla: Exige la resolución, la existencia de inversos multiplicativos.

Resolución de ecuaciones de primer grado:

Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un ejemplo.

Dada la ecuación:

 

 

Transposición:

Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x o la incógnita del problema) en el otro miembro. Esto puede hacerse teniendo en cuenta que:

Si se suma o se resta un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, se dice que: si un término está sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (−16x a la izquierda); y si está restando (como el −9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 a la derecha)

La ecuación quedará entonces así:

 

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.

Simplificación:

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta. Si se efectúa la simplificación del primer miembro:

 

Y se simplifica el segundo miembro

 

La ecuación simplificada será:

 

 

 

Despeje:

Ahora es cuando se llega al objetivo final que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para lo cual se recuerda que:

Si se multiplica o se divide ambos miembros por un mismo número diferente de cero, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la está multiplicando (Ej.: 5x) y no hay ningún otro término sumando o restando en ese mismo miembro, se pasa dicho número al otro lado dividiendo (n/5) sin cambiar su signo. Y si un número la está dividiendo (Ej.: x/2), entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n×2) sin cambiar su signo.

Al pasar el 5 dividiendo al otro lado, lo que estamos haciendo en realidad es dividir ambos miembros entre 5. Entonces, en el miembro donde estaba el 5 obtenemos 5/5, que se anula quedando sólo la x (decimos que el 5 que multiplicada desaparece del primer miembro). En el otro lado, en cambio, el 5 que agregamos dividiendo no puede anularse (decimos que aparece dividiendo como si hubiera pasado de un lado a otro con la operación convertida en su inversa.

Volviendo al ejemplo, debemos entonces pasar el número 95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo hará dividiendo, sin cambiar de signo:

 

El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.

Se puede resolver la fracción (numerador dividido entre denominador) si el resultado fuera exacto; pero como en este caso es decimal (525:95 = 5,52631578947) se simplifica y ésa es la solución: